График функции игрек равно синус икс. Функции y = sin x, y = cos x, y = mf(x), y = f(kx), y = tg x, y = ctg x. "Вход в урок"

На этом уроке мы подробно рассмотрим функцию у = sin х, ее основные свойства и график. В начале урока дадим определение тригонометрической функции у = sin t на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока решим несколько простейших задач с использованием графика функции и ее свойств.

Тема: Тригонометрические функции

Урок: Функция y=sinx, её основные свойства и график

При рассмотрении функции важно каждому значению аргумента поставить в соответствие единственное значение функции. Этот закон соответствия и называется функцией.

Определим закон соответствия для .

Любому действительному числу соответствует единственная точка на единичной окружности У точки есть единственная ордината, которая и называется синусом числа (рис. 1).

Каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.

Из определения синуса вытекают очевидные свойства.

На рисунке видно, что т.к. это ордината точки единичной окружности.

Рассмотрим график функции . Вспомним геометрическую интерпретацию аргумента. Аргумент - это центральный угол, измеряемый в радианах. По оси мы будем откладывать действительные числа или углы в радианах, по оси соответствующие значения функции.

Например, угол на единичной окружности соответствует точке на графике (рис. 2)

Мы получили график функции на участке Но зная период синуса мы можем изобразить график функции на всей области определения (рис. 3).

Основным периодом функции является Это значит, что график можно получить на отрезке а затем продолжить на всю область определения.

Рассмотрим свойства функции :

1) Область определения:

2) Область значений:

3) Функция нечетная:

4) Наименьший положительный период:

5) Координаты точек пересечения графика с осью абсцисс:

6) Координаты точки пересечения графика с осью ординат:

7) Промежутки, на которых функция принимает положительные значения:

8) Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения:

9) Промежутки возрастания:

10) Промежутки убывания:

11) Точки минимума:

12) Минимум функции:

13) Точки максимума:

14) Максимум функции:

Мы рассмотрели свойства функции и её график. Свойства неоднократно будут использоваться при решении задач.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред.

А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Дополнительные веб-ресурсы

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам ().

«Йошкар-Олинский техникум сервисных технологий»

Построение и исследование графика тригонометрической функции y=sinx в табличном процессоре MS Excel

/методическая разработка/

Йошкар – Ола

Тема . Построение и исследование графика тригонометрической функции y = sinx в табличном процессоре MS Excel

Тип урока – интегрированный (получение новых знаний)

Цели:

Дидактическая цель - исследовать поведение графиков тригонометрической функции y = sinx в зависимости от коэффициентов с помощью компьютера

Обучающие:

1. Выяснить изменение графика тригонометрической функции y = sin x в зависимости от коэффициентов

2. Показать внедрение компьютерных технологий в обучение математике, интеграцию двух предметов: алгебры и информатики.

3. Формировать навыки использования компьютерных технологий на уроках математики

4. Закрепить навыки исследования функций и построения их графиков

Развивающие:

1. Развивать познавательный интерес учащихся к учебным дисциплинам и умение применять свои знания в практических ситуациях

2. Развивать умения анализировать, сравнивать, выделять главное

3. Способствовать повышению общего уровня развития студентов

Воспитывающие :

1. Воспитывать самостоятельность, аккуратность, трудолюбие

2. Воспитывать культуру диалога

Формы работы на уроке – комбинированная

Дидактическое оснащение и оборудование:

1. Компьютеры

2. Мультимедийный проектор

4. Раздаточный материал

5. Слайды презентации

Ход урока

I . Организация начала урока

· Приветствие студентов и гостей

· Настрой на урок

II . Целеполагание и актуализация темы

Для исследования функции и построения ее графика требуется много времени, приходится выполнять много громоздких вычислений, это не удобно, на помощь приходят компьютерные технологии.

Сегодня мы научимся строить графики тригонометрических функций в среде табличного процессора MS Excel 2007.

Тема нашего занятия «Построение и исследование графика тригонометрической функцииy = sinx в табличном процессоре»

Из курса алгебры нам известна схема исследования функции и построения ее графика. Давайте вспомним как это сделать.

Слайд 2

Схема исследования функции

1. Область определения функции (D(f))

2. Область значения функции Е(f)

3. Определение четности

4. Периодичность

5. Нули функции (y=0)

6. Промежутки знакопостоянства (у>0, y<0)

7. Промежутки монотонности

8. Экстремумы функции

III . Первичное усвоение нового учебного материала

Откройте программу MS Excel 2007.

Построим график функции y=sinx

Построение графиков в табличном процессоре MS Excel 2007

График данной функции будем строить на отрезке x Є [-2π; 2π]

Значения аргумента будем брать с шагом, чтобы график получился более точным.

Т. к. редактор работает с числами, переведем радианы в числа, зная что П ≈ 3,14 . (таблица перевода в раздаточном материале).

1. Находим значение функции в точке х=-2П. Для остальных значение аргумента соответствующие значения функции редактор вычисляет автоматически.

2. Теперь у нас имеется таблица со значениями аргумента и функции. С помощью этих данных мы должны построить график этой функции с помощью мастера диаграмм.

3. Для построения графика надо выделить нужный диапазон данных, строки со значениями аргумента и функции

4..jpg" width="667" height="236 src=">

Выводы записываем в тетрадь (Слайд 5)

Вывод. График функции вида у=sinx+k получается из графика функции у=sinx с помощью параллельного переноса вдоль оси ОУ на k единиц

Если k >0, то график смещается вверх на k единиц

Если k<0, то график смещается вниз на k единиц

Построение и исследование функции вида у= k *sinx, k - const

Задание 2. На рабочем Листе2 в одной системе координат постройте графики функций y = sinx y =2* sinx , y = * sinx , на интервале (-2π; 2π) и проследите как изменяется вид графика.

(Чтобы заново не задавать значение аргумента давайте скопируем имеющиеся значения. Теперь вам надо задать формулу, и по полученной таблице построить график.)

Сравниваем полученные графики. Разбираем вместе с обучающимися поведение графика тригонометрической функции в зависимости от коэффициентов. (Слайд 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x , на интервале (-2π; 2π) и проследите как изменяется вид графика.

Сравниваем полученные графики. Разбираем вместе с обучающимися поведение графика тригонометрической функции в зависимости от коэффициентов. (Слайд 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">

Выводы записываем в тетрадь (Слайд 11)

Вывод. График функции вида у= sin(x+k) получается из графика функции у=sinx с помощью параллельного переноса вдоль оси ОХ на k единиц

Если k >1, то график смещается вправо вдоль оси ОХ

Если 0

IV . Первичное закрепление полученных знаний

Дифференцированные карточки с заданием на построение и исследование функции при помощи графика

	Y=6 *sin(x)	Y= 1-2 sin х	Y= - sin (3х+ )
1. Область определения
2. Область значения
3. Четность
4. Периодичность
5. Промежутки знакопостоянства
6. Промежутки монотонности
Функция возрастает
Функция убывает
7. Экстремумы функции
Минимум
Максимум

V . Организация домашнего задания

Построить график функции y=-2*sinх+1 , исследовать и проверить правильность построения в среде электронной таблицы Microsoft Excel. (Слайд 12)

VI . Рефлексия

Х y O Единичная тригонометрическая окружность

3 =180 3,14 рад R R О Р М R Рассмотрим окружность радиуса R. Построим MOP: МР = R 1 радиан Величина МОР равна 1 радиан МР =1рад МОР 57 17= 1рад Радианная мера угла

4 Длина окружности выражается формулой C=2 R, где R – радиус окружности. 3, Окружность, радиус которой равен 1, называется … Точки М,Р,К,N – назовем узловыми. Отметим точки А,В,С. Длину единичной окружности удобно измерять в радианах. Если R=1, то С=2 рад! Наименование радиан обычно опускают. y х К Р С В А Длина дуги половины окружности равна рад. М N рад – четверть длины окружности рад – три четверти длины окружности О 1 единичной Радианная мера угла uk-badge uk-margin-small-right"> 5 Градусная мера Радианная мера0 Итак, величину угла поворота точки, а также величину дуги единичной окружности, можно задавать: I четверть II четверть III четверть IV четверть О в градусной мере в радианной мере Радианная мера угла 0 2 I четверть II четверть III четверть IV четверть О 2

6 «Размотаем» окружность как нить на координатный луч с началом в точке 0 Установим соответствие между множеством действительных чисел на числовой прямой и точками единичной окружности. Такое «разматывание» можно продолжать бесконечно. 3,14 0 Построение графика х y=sin x

13 Преобразование графиков Функция Преобразование 1 y= f (x) + mПараллельный перенос вдоль оси OY на m единиц 2 y= f (x – n)Параллельный перенос вдоль оси OX на n единиц 3 y=А f (x) Растяжение вдоль оси OY относительно оси OX в А раз 4 y= f (k x)Сжатие вдоль оси OX относительно оси OY в k раз 5 y= – f (x) Симметричное отражение относительно оси OX 6 y= f (– x) Симметричное отражение относительно оси OY y = f (x)

20 Построим график функции y= 3 sin(2x+ /3)–2 Этапы построения: 1. y= sin x – синусоида 3. y= sin(2x+ /3) – перенос на /3 единиц влево 4. y= 3 sin(2x+ /3) – растяжение в 3 раза вдоль оси Oy 2. y= sin 2x – сжатие в 2 раза вдоль оси Ох 5. y= 3 sin(2x+ /3)–2 – перенос на 2 единицы вниз

26 Преобразование графиков Функция Преобразование 1 y=sin(kx)Сжатие вдоль оси OX относительно оси OY в k раз 2 y=sin(x–m)Параллельный перенос вдоль оси OX на m единиц 3 y=А sin x Растяжение вдоль оси OY относительно оси OX в А раз 4 y=sin x+nПараллельный перенос вдоль оси OY на n единиц 5 y= – sin x Симметричное отражение относительно оси OX 6 y= sin (–x) Симметричное отражение относительно оси OY y = Asin(kx–n)+m
28 1.Функция y=sin x существует при всех действительных значениях x, причем, график ее является сплошной линией (без разрывов), т.е. функция непрерывна. 2.Функция y=sin x нечетная, ее график симметричен относительно начала координат 3.Наибольшие и наименьшие значения. Все возможные значения функции sinx ограничены неравенством -1 sinx 1, причем 4. Нули функции (точки пересечения графика функции с осью абсцисс): sinx=0, если x= n. (n Z) Некоторые свойства функции y=sinx sin x= – 1, если sin x=1, если

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ

Функция синус

— множество R всех действительных чисел.

Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция — ограниченная .

Функция нечетная: sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R .

Функция периодическая

sin(x+2π· k) = sin x, где k ∈ Z для всех х ∈ R .

sin x = 0 при x = π·k , k ∈ Z .

sin x > 0 (положительная) для всех x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ Z .

sin x < 0 (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ Z .

Функция косинус

Область определения функции — множество R всех действительных чисел.

Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция — ограниченная .

Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R .

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π :

cos(x+2π· k ) = cos x, где k ∈ Z для всех х ∈ R .

cos x = 0 при
cos x > 0 для всех
cos x < 0 для всех
Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках:
Функция убывает от −1 до 1 на промежутках:
Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках:
Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках:

Функция тангенс

Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. тангенс — функция неограниченная .

Функция нечетная: tg(−x)=−tg x
График функции симметричен относительно оси OY.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π , т.е. tg(x+π· k ) = tg x, k ∈ Z для всех х из области определения.

Функция котангенс

Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. котангенс — функция неограниченная .

Функция нечетная: ctg(−x)=−ctg x для всех х из области определения.
График функции симметричен относительно оси OY.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π , т.е. ctg(x+π· k )=ctg x, k ∈ Z для всех х из области определения.

Функция арксинус

Область определения функции — отрезок [-1; 1]

Множество значений функции — отрезок -π /2 arcsin x π /2, т.е. арксинус — функция ограниченная .

Функция нечетная: arcsin(−x)=−arcsin x для всех х ∈ R .
График функции симметричен относительно начала координат.

На всей области определения.

Функция арккосинус

Область определения функции — отрезок [-1; 1]

Множество значений функции — отрезок 0 arccos x π , т.е. арккосинус — функция ограниченная .

Функция является возрастающей на всей области определения.

Функция арктангенс

Область определения функции — множество R всех действительных чисел.

Множество значений функции — отрезок 0 π, т.е. арктангенс — функция ограниченная .

Функция нечетная: arctg(−x)=−arctg x для всех х ∈ R .
График функции симметричен относительно начала координат.

Функция является возрастающей на всей области определения.

Функция арккотангенс

Область определения функции — множество R всех действительных чисел.

Множество значений функции — отрезок 0 π, т.е. арккотангенс — функция ограниченная .

Функция не является ни четной, ни нечетной.
График функции несимметричен ни относительно начала координат, ни относительно оси Оy.

Функция является убывающей на всей области определения.

Как построить график функции y=sin x? Для начала рассмотрим график синуса на промежутке .

Единичный отрезок берём длиной 2 клеточки тетради. На оси Oy отмечаем единицу.

Для удобства число π/2 округляем до 1,5 (а не до 1,6, как требуется по правилам округления). В этом случае отрезку длиной π/2 соответствуют 3 клеточки.

На оси Ox отмечаем не единичные отрезки, а отрезки длиной π/2 (через каждые 3 клеточки). Соответственно, отрезку длиной π соответствует 6 клеточек, отрезку длиной π/6 — 1 клеточка.

При таком выборе единичного отрезка график, изображённый на листе тетради в клеточку, максимально соответствует графику функции y=sin x.

Составим таблицу значений синуса на промежутке :

Полученные точки отметим на координатной плоскости:

Так как y=sin x — нечётная функция, график синуса симметричен относительно начала отсчёта — точки O(0;0). С учётом этого факта продолжим построение графика влево, то точки -π:

Функция y=sin x — периодическая с периодом T=2π. Поэтому график функции, взятый на на промежутке [-π;π], повторяется бесконечное число раз вправо и влево.