КОММУНИСТИЧЕСКАЯ ПАРТИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (КПРФ) – Одна из крупнейших...
Основные понятия систем счисления
Система счисления - это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе: ; ; и т. д.
Различают два типа систем счисления:
позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;
непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.
Примером непозиционной системы счисления является римская: числа IX, IV, XV и т.д. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая повседневно.
Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:
где S - основание системы счисления;
Цифры числа, записанного в данной системе счисления;
n - количество разрядов числа.
Пример. Число запишется в форме многочлена следующим образом:
Виды систем счисления
Римская система счисления является непозиционной системой. В ней для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква - V пять, X - десять, L - пятьдесят, C - сто, D - пятьсот, M - тысячу и т.д. Например, число 264 записывается в виде CCLXIV. При записи чисел в римской системе счисления значением числа является алгебраическая сумма цифр, в него входящих. При этом цифры в записи числа следуют, как правило, в порядке убывания их значений, и не разрешается записывать рядом более трех одинаковых цифр. В том случае, когда за цифрой с большим значением следует цифра с меньшим, ее вклад в значение числа в целом является отрицательным. Типичные примеры, иллюстрирующие общие правила записи чисел в римской система счисления, приведены в таблице.
Таблица 2. Запись чисел в римской системе счисления
|
III |
||||
|
VII |
VIII |
|||
|
XIII |
XVIII |
XIX |
XXII |
|
|
XXXIV |
XXXIX |
XCIX |
||
|
200 |
438 |
649 |
999 |
1207 |
|
CDXXXVIII |
DCXLIX |
CMXCIX |
MCCVII |
|
|
2045 |
3555 |
3678 |
3900 |
3999 |
|
MMXLV |
MMMDLV |
MMMDCLXXVIII |
MMMCM |
MMMCMXCIX |
Недостатком римской системы является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий с многозначными числами. По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов и в ряде других случаев.
Десятичня система счисления – в настоящее время наиболее известная и используемая. Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника. Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Люди привыкли считать в десятичной системе счисления, потому что у них по 10 пальцев на руках.
Древнее изображение десятичных цифр (рис. 1) не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 - углов нет, 1 - один угол, 2 - два угла и т.д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.
Десятичная система впервые появилась в Индии примерно в VI веке новой эры. Индийская нумерация использовала девять числовых символов и нуль для обозначения пустой позиции. В ранних индийских рукописях, дошедших до нас, числа записывались в обратном порядке - наиболее значимая цифра ставилась справа. Но вскоре стало правилом располагать такую цифру с левой стороны. Особое значение придавалось нулевому символу, который вводился для позиционной системы обозначений. Индийская нумерация, включая нуль, дошла и до нашего времени. В Европе индусские приёмы десятичной арифметики получили распространение в начале ХIII в. благодаря работам итальянского математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Европейцы заимствовали индийскую систему счисления у арабов, назвав ее арабской. Это исторически неправильное название удерживается и поныне.
Десятичная система использует десять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы “+” и “–” для обозначения знака числа и запятую или точку для разделения целой и дробной частей числа.
В вычислительных машинах используется двоичная система счисления, её основание - число 2. Для записи чисел в этой системе используют только две цифры - 0 и 1. Вопреки распространенному заблуждению, двоичная система счисления была придумана не инженерами-конструкторами ЭВМ, а математиками и философами задолго до появления компьютеров, еще в ХVII - ХIХ веках. Первое опубликованное обсуждение двоичной системы счисления принадлежит испанскому священнику Хуану Карамюэлю Лобковицу (1670 г.). Всеобщее внимание к этой системе привлекла статья немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница, опубликованная в 1703 г. В ней пояснялись двоичные операции сложения, вычитания, умножения и деления. Лейбниц не рекомендовал использовать эту систему для практических вычислений, но подчёркивал её важность для теоретических исследований. Со временем двоичная система счисления становится хорошо известной и получает развитие.
Выбор двоичной системы для применения в вычислительной технике объясняется тем, что электронные элементы - триггеры, из которых состоят микросхемы ЭВМ, могут находиться только в двух рабочих состояниях.
С помощью двоичной системы кодирования можно зафиксировать любые данные и знания. Это легко понять, если вспомнить принцип кодирования и передачи информации с помощью азбуки Морзе. Телеграфист, используя только два символа этой азбуки - точки и тире, может передать практически любой текст.
Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека: числа получаются длинными и их трудно записывать и запоминать. Конечно, можно перевести число в десятичную систему и записывать в таком виде, а потом, когда понадобится перевести обратно, но все эти переводы трудоёмки. Поэтому применяются системы счисления, родственные двоичной - восьмеричная и шестнадцатеричная. Для записи чисел в этих системах требуется соответственно 8 и 16 цифр. В 16-теричной первые 10 цифр общие, а дальше используют заглавные латинские буквы. Шестнадцатеричная цифра A соответствует десятеричному числу 10, шестнадцатеричная B – десятичному числу 11 и т. д. Использование этих систем объясняется тем, что переход к записи числа в любой из этих систем от его двоичной записи очень прост. Ниже приведена таблица соответствия чисел, записанных в разных системах.
Таблица 3. Соответствие чисел, записанных в различных системах счисления
|
Десятичная |
Двоичная |
Восьмеричная |
Шестнадцатеричная |
|
001 |
|||
|
010 |
|||
|
011 |
|||
|
100 |
|||
|
101 |
|||
|
110 |
|||
|
111 |
|||
|
1000 |
|||
|
1001 |
|||
|
1010 |
|||
|
1011 |
|||
|
1100 |
|||
|
1101 |
D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/ |
||
|
1110 |
|||
|
1111 |
|||
|
10000 |
Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую
Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.
1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:
Таблица 4. Степени числа 2
|
n (степень) |
|||||||||||
|
1024 |
Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.
2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:
Таблица 5. Степени числа 8
|
n (степень) |
Системой счисления (СС) называют совокупность цифровых знаков и правил их записи, применяемую для однозначного изображения чисел. Различают позиционные и непозиционные системы счисления.
В непозиционных системах счисления значение каждой цифры не зависит от ее позиции в числе. В настоящее время непозиционные системы счисления применяются редко и в основном для целей нумерации.
Непозиционной системой счисления является римская система. В ней применяются следующие цифры:
десятичные числа: 1 5 10 50 100 500 1000 и т. д.;
римские цифры: I V X L C D M и т. д.
Десятичное число 32 изображается в римской системе счисления так:
XXXII = X+X+X+I+I=32,
то есть несколько стоящих рядом одинаковых цифр суммируются. Если рядом стоят две разные цифры, то они могут либо суммироваться, либо вычитаться, например
ХХVI = X + X + V + I = 26 и IX = X – I = 9.
Арифметические действия с числами в непозиционных системах сложны.
В ЭВМ преимущественное применение получили позиционные системы счисления, в которых значение каждой цифры находится в строгой зависимости от ее позиции в числе.
Основанием системы счисления называют количество различных цифр, применяемых в данной позиционной системе счисления. Всем известна с детства десятичная система счисления, в которой применяется десять цифр.
Десятичная система счисления – не единственная позиционная система. Возможны позиционные системы счисления с любым основанием в виде целого числа. Примеры систем счисления приведены в таблице.
Особый интерес при изучении вычислительной техники представляют двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления (таблица 4.1).
Таблица 4.1
| Основание | Система счисления | Цифровые символы |
| двоичная | 0, 1 | |
| троичная | 0, 1, 2 | |
| четверичная | 0, 1, 2, 3 | |
| пятеричная | 0, 1, 2, 3, 4 | |
| восьмеричная | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | |
| десятичная | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | |
| двенадцатиричная | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B | |
| шестнадцатеричная | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F |
В общем случае в позиционной системе счисления по некоторому основанию число
X=a n– 1 a n– 2 … a 1 a 0 a – 1 a – 2 …a –m
X=a n– 1 b n –1 + a n– 2 b n –2 +…+ a 1 b 1 + a 0 b 0 + a –1 b –1 … +a –m b –m .
В этой общей форме a i – цифры, лежащие в диапазоне 0£a i <b ; n и m – количество разрядов в целой и дробной частях числа соответственно; b – основание системы счисления; b i – разрядный вес i -й цифры.
Запись числа в b -ичной системе счисления называют b -ичным кодом числа. Двоичный, восьмеричный и шестнадцатеричный коды десятичного числа, например, 19,375 выглядят следующим образом:
19,375 (10) =10011,011 (2) =23,3 (8) =13,6 (16) .
Десятичный индекс, сопровождающий число, указывает основание системы счисления. Индекс опускается, когда основание системы счисления известно из контекста.
В виде полиномов уже рассмотренное десятичное число 19,375 можно записать так:
19,375 (10) =10011,011 (2) =1×2 4 +0×2 3 +0×2 2 +1×2 1 +1×2 0 +0×2 –1 +1×2 –2 +1×2 –3 =
16+0+0+2+1+0+1/4+1/8.
19,375 (10) =23,3 (8) =2×8 1 +3×8 0 +3×8 –1 =16+3+3/8.
19,375 (10) =13,6 (16) =1×16 1 +3×16 0 +6×16 –1 =16+3+6/16.
Таблица 4.2 – Коды чисел в различных позиционных системах счисления
| Десятичные | Двоичные | Восьмеричные | Шестнадцатеричные |
| A B C D E F | |||
| 1A 1B 1C 1D | |||
| 1E 1F | |||
Числа, записанные в недесятичных системах счисления, следует произносить не так, как в десятичной системе. Например, восьмеричное число 23,3 рекомендуется читать так: "два–три–запятая–три" в отличие от привычного для нас чтения десятичного числа 23,3, а именно двадцать три целых и три десятых".
Для ЭВМ наилучшей системой счисления оказалась двоичная из-за простоты технической реализации, наибольшей помехоустойчивости кодирования цифр, минимума затрат оборудования, простоты арифметических действий, наибольшего быстродействия ивозможности применения формального математического аппарата для синтеза и анализа вычислительных устройств. Десятичная система счисления удобнее для человека с точки зрения удобства работы, но сильно проигрывает двоичной по остальным требованиям. Оценим, например, затраты оборудования для запоминания числа 5839 в десятичной системе. Нам потребуется четыре десятичных разряда по десять устойчивых состояний в каждом, то есть всего 40 устойчивых состояний. В двоичной системе счисления для этого же числа 5839, выраженного как 1 0110 1100 1111, достаточно иметь 13 разрядов на два устойчивых состояния в каждом – всего 26 устойчивых состояний, что примерно в 1,5 раза меньше.
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления в вычислительной технике имеют вспомогательное значение. Запись чисел в этих системах получается более компактной и удобной для человека, чем в двоичной системе.
В машинах первого и второго поколений наибольшее распространение получила восьмеричная система. Этому способствовало то, что в ней можно было пользоваться цифрами десятичной системы, не прибегая к каким-либо новым символам, что нельзя сделать при использовании шестнадцатеричной системы.
В машинах третьего и более поздних поколений вместо восьмеричной чаще стала использоваться шестнадцатеричная система, так как это унифицирует форматы числовой и командной информации и обеспечивает более короткие записи.
В ЭВМ третьего и более поздних поколений за основную единицу информации принят байт. Один байт равен 8 битам, то есть описывается восемью двоичными разрядами. В шестнадцатеричной системе для записи информации, содержащейся в одном байте, требуется 2 символа, а в восьмеричной – 3, причем старший разряд восьмеричного числа недоиспользуется.
Наука и жизнь // Иллюстрации
Наука и жизнь // Иллюстрации
Понятие о числе зародилось в глубокой древности, когда человек научился считать предметы: два дерева, семь быков, пять рыб . Сначала счёт вели на пальцах. В разговорной речи мы до сих пор иногда слышим: «Дай пять!», то есть подай руку. А раньше говорили: «Дай пясть!» Пясть - это рука, а на руке пять пальцев. Когда-то слово пять имело конкретное значение - пять пальцев пясти, то есть руки.
Позднее вместо пальцев для счёта начали использовать зарубки на палочках. А когда возникла письменность, для обозначения чисел стали употреблять буквы. Например, у славян буква А означала число «один» (Б не имело числового значения), В - два, Г - три, Д - четыре, Е - пять.
Постепенно люди стали осознавать числа независимо от предметов и лиц, которые могли подвергаться счёту: просто число «два» или число «семь». В связи с этим у славян появилось слово число . В значении «счёт, величина, количество» его начали употреблять в русском языке с ХI века. Наши предки использовали слово число и для указания на дату, год. С ХIII века оно стало обозначать ещё и дань, подать.
В старину в книжном русском языке наряду со словом число имело хождение существительное чисмя , а также прилагательное чисменый . В ХVI веке появился глагол числити - «считать».
Во второй половине ХV века в европейских странах получили распространение специальные знаки, обозначающие числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Их изобрели индийцы, а в Европу они попали благодаря арабам, поэтому и получили название арабские цифры .
В нашей стране арабские цифры появились в Петровскую эпоху. В то же время в русский язык вошло слово цифра . Арабское по происхождению, оно тоже пришло к нам из европейских языков. У арабов первоначальное значение слова цифра - это нуль, пустое место. Именно в этом значении существительное цифра вошло во многие европейские языки, в том числе в русский. С середины ХVIII века слово цифра приобрело новое значение - знак числа.
Совокупность цифр в русском языке называлась цифирь (в старой орфографии цыфирь). Дети, изучавшие счёт, говорили: учу цифирь , пишу цифирь . (Вспомните учителя по фамилии Цыфиркин из комедии Дениса Ивановича Фонвизина «Недоросль», который обучал нерадивого Митрофанушку цифири , то есть арифметике.) При Петре I в России открыли цифирные школы - начальные государственные общеобразовательные учебные заведения для мальчиков. В них кроме других дисциплин детям преподавали цифирную науку - арифметику, математику.
Итак, слова число и цифра различаются и по значению и по происхождению. Число - единица счёта, выражающая количество (один дом, два дома, три дома и т.д.). Цифра - знак (символ), обозначающий значение числа. Для записи чисел мы используем арабские цифры - 1, 2, 3… 9, 0, а в некоторых случаях и римские - I, II, III, IV, V и т.д.
В наши дни слова число и цифра употребляются и в других значениях. Например, когда мы спрашиваем «Какое сегодня число?», то имеем в виду день месяца. Сочетания «в том числе », «из числа кого-нибудь», «в числе кого-то» обозначают состав, совокупность людей или предметов. А если мы доказываем что-то с цифрами в руках , то обязательно используем числовые показатели. Словом цифра называют также денежную сумму (цифра дохода, цифра гонорара ).
В разговорной речи слова число и цифра часто заменяют друг друга. Например, числом мы называем не только величину, но и знак, который её выражает. Об очень больших в числовом отношении величинах говорят астрономические числа или астрономические цифры .
Слово количество появилось в русском языке в XI веке. Оно пришло из старославянского языка и образовано от слова колико - «сколько». Существительное количество употребляется в применении ко всему, что поддаётся счёту и измерению. Это могут быть люди или предметы (количество гостей, количество книг ), а также количество вещества, которое мы не считаем, а измеряем (количество воды, количество песка ).
Число - это количественная характеристика чего-либо. Вначале числа обозначались чёрточками. Но это неудобно: попробуйте безошибочно на неразлинованной бумаге написать двести пятьдесят пять чёрточек. То-то! К счастью, в Индии была придумана десятичная система счисления, позволяющая записывать любое натуральное число при помощи всего десяти знаков!
Некоторые знаки и символы для обозначения что-либо 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - + × ∙ * : / ∕ ÷ = ≈ ≠ 🙂 🙁 ☀️ 🌥️ 🌧️ 🍎 🍒 🍓 Некоторые математические символы 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - + × ∙ * : / ∕ ÷ = ≈ ≠ Арабские цифры (всего 10) для обозначения чисел 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Из чего состоит число
Однозначные числа состоят только из одной цифры 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Двузначные числа состоят только из двух цифр 10 11 12 13 14 15 16 … 97 98 99 Трёхзначные числа состоят только из трёх цифр 100 101 102 103 104 105 106 … 997 998 999 Четырёхзначные числа состоят только из четырёх цифр 1000 1001 1002 1003 1004 1005 1006 … 9997 9998 9999 …Для записи числа 255 (Двести пятьдесят пять) нужно всего две цифры: «2» и «5». Цифра «5» используется дважды. Первая правая цифра в числе обозначает количество единиц (пять чёрточек), вторая - количество десятков (пять раз по десять чёрточек), третья - количество сотен (два раза по сто чёрточек), четвёртая - количество тысяч и т. д.
255 (Двести пятьдесят пять)
| 2 | 5 | 5 |
|---|---|---|
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | ||
| | | | | | | | | | | | ||
| | | | | | | | | | | | ||
| | | | | | | | | | | | ||
| | | | | | | | | | | | ||
| | | | | | | | | | | | ||
| | | | | | | | | | | | ||
| | | | | | | | | | | | ||
| | | | | | | | | | | | ||
| | | | | | | | | | | | ||
| | | | | | | | | | | | ||
| | | | | | | | | | | | ||
| | | | | | | | | | | | ||
| | | | | | | | | | | | ||
| | | | | | | | | | | |
Числа состоят не только из цифр. Также, например, используется символы «минус» или «запятая», отделяющая дробную часть.
Чтение и произношение целых чисел и десятичных дробей
Двести пятьдесят пять целых одна сотая| 2 | 5 | 5 | , | 0 | 1 | |||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| … | Миллиарды | Сотни миллионов | Десятки миллионов | Миллионы | Сотни тысяч | Десятки тысяч | Тысячи | Сотни | Десятки | Единицы | Десятые | Сотые | Тысячные | Десятитысячные | Стотысячные | Миллионные | … |
После двадцати числа имеют составное наименование.
| 2 | 5 | 6 | ( | Двести | пятьдесят | шесть | ) | |
| 2 | 0 | 0 | ( | Двести | ) | |||
| 5 | 0 | ( | Пятьдесят | ) | ||||
| 6 | ( | Шесть | ) |
| 1 | один | 11 | одиннадцать | 10 | десять | 100 | сто |
| 2 | два | 12 | двенадцать | 20 | двадцать | 200 | двести |
| 3 | три | 13 | тринадцать | 30 | тридцать | 300 | триста |
| 4 | четыре | 14 | четырнадцать | 40 | сорок | 400 | четыреста |
| 5 | пять | 15 | пятнадцать | 50 | пятьдесят | 500 | пятьсот |
| 6 | шесть | 16 | шестнадцать | 60 | шестьдесят | 600 | шестьсот |
| 7 | семь | 17 | семнадцать | 70 | семьдесят | 700 | семьсот |
| 8 | восемь | 18 | восемнадцать | 80 | восемьдесят | 800 | восемьсот |
| 9 | девять | 19 | девятнадцать | 90 | девяносто | 900 | девятьсот |
Число проговаривается по три цифры с соответствующим классом. Можно озвучить очень большие числа.
256 (Двести пятьдесят шесть) 256 000 (Двести пятьдесят шесть тысяч ) 256 256 (Двести пятьдесят шесть тысяч двести пятьдесят шесть) 2 256 256 (Два миллиона двести пятьдесят шесть тысяч двести пятьдесят шесть)
В десятичных дробях произносится
- число до запятой,
- слово «целых» или «целая» (подразумевается «целая единица»),
- число после запятой,
- разряд крайней справа цифры (подразумевается «часть единицы»).
В бесконечных периодических десятичных дробях произносится
- число до запятой,
- слово «целых» или «целая»,
- число после запятой до периода,
- разряд крайней справа цифры перед периодом,
- слово «и»,
- число периода,
- слово «в периоде»
Классическая запись чисел римскими цифрами
=До арабских цифр использовали римские цифры. Чтобы не сбиться со счёта при написании чёрточек, выделяли сначала каждую пятую, а затем и каждую десятую чёрточку. Со временем запись «| | | | V | | | | X | | | | V | | | | X | | | | V |» уменьшилась до «XXVI».
| I | V | X | L | C | D | M |
| 1 | 5 | 10 | 50 | 100 | 500 | 1000 |
Римские цифры, которые имеют большее значение, стоят в числе левее тех, у кого значение меньше. Их значения складываются (VI = 5 + 1 = 6). Цифры «V», «L», «D» не повторяются.
Исключения: с XIX века сочетания «IV», «IX», «XL», «XC», «CD», «CM». Во избежание четырёхкратного повторения одной цифры (неверно: «IIII»), в них цифра с большим значением стоит правее цифры с меньшим значением и из большего значения вычитается меньшее (IV = 5 - 1 = 4).
| I | один | X | десять | C | сто | M | одна тысяча |
| II | два | XX | двадцать | CC | двести | MM | две тысячи |
| III | три | XXX | тридцать | CCC | триста | MMM | три тысячи |
| IV | четыре | XL | сорок | CD | четыреста | ||
| V | пять | L | пятьдесят | D | пятьсот | ||
| VI | шесть | LX | шестьдесят | DC | шестьсот | ||
| VII | семь | LXX | семьдесят | DCC | семьсот | ||
| VIII | восемь | LXXX | восемьдесят | DCCC | восемьсот | ||
| IX | девять | XC | девяносто | CM | девятьсот |
| CC | L | VI | ( | Двести | пятьдесят | шесть | ) | |
| CC | ( | Двести | ) | |||||
| L | ( | Пятьдесят | ) | |||||
| VI | ( | Шесть | ) |
Какими бывают числа (школьная программа)
Натуральные числа - это целые положительные числа, возникшие при счёте предметов 1 2 3 … 98 99 100 … Простые числа - это натуральные числа, которые делятся без остатка только на два натуральных числа: 1 и само себя (единица не является простым числом) 2 (2/2 = 1 2/1 = 2) 3 5 … 83 89 97 … Составные числа - это натуральные числа, которые делятся без остатка на три и более натуральных числа (единица не является составным числом) 4 (4/4 = 1 4/2 = 2 4/1 = 4) 6 8 … 98 99 100 … Круглые числа - это натуральные числа, которые оканчиваются на 0 10 20 30 … 100 … Целые числа - это натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным (отрицательные) … -100 -99 -98 … -2 -1 0 1 2 … 98 99 100 … Чётные числа - это целые числа, которые делятся на число 2 без остатка … -100 -98 -96 … -4 -2 0 2 4 … 96 98 100 … Нечётные числа - это целые числа, которые не делятся на число 2 без остатка … -99 -97 -95 … -3 -1 1 3 … 95 97 99 … Вещественные числа - это рациональные и иррациональные числа … -100,5 … -5,(6) … -3 … -2 , где числитель m - целое число, а знаменатель n - натуральное число … -100,5 … -5,(6) … -3 … -2 или ±m/n, где n ≠ 0 … -| 201 |
| 2 |
| 17 |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 14 |
| 5 |
| 4 |
| 2 |
| 5 |
| 5 |
| 6 |
| 7 |
| 114 |
| 990 |
| 1 |
| 500 |
| 1 |
| 1000 |
| 0 |
| 98 |
| 1 |
| 1000 |
| 17 |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 14 |
| 5 |
| 4 |
| 2 |
| 5 |
| 5 |
| 5 |
| 5 |
| 4 |
| 2 |
| 14 |
| 5 |
| 3 |
| 1 |
| 17 |
| 3 |
| 201 |
| 2 |
| 6 |
| 7 |
Числа и цифры
Понятие о числе зародилось в глубокой древности, когда человек научился считать предметы: два дерева, семь быков, пять рыб . Сначала счёт вели на пальцах. В разговорной речи мы до сих пор иногда слышим: «Дай пять!», то есть подай руку. А раньше говорили: «Дай пясть!» Пясть - это рука, а на руке пять пальцев. Когда-то слово пять имело конкретное значение - пять пальцев пясти, то есть руки.
Позднее вместо пальцев для счёта начали использовать зарубки на палочках. А когда возникла письменность, для обозначения чисел стали употреблять буквы. Например, у славян буква А означала число «один» (Б не имело числового значения), В - два, Г - три, Д - четыре, Е - пять.
Постепенно люди стали осознавать числа независимо от предметов и лиц, которые могли подвергаться счёту: просто число «два» или число «семь». В связи с этим у славян появилось слово число . В значении «счёт, величина, количество» его начали употреблять в русском языке с ХI века. Наши предки использовали слово число и для указания на дату, год. С ХIII века оно стало обозначать ещё и дань, подать.
В старину в книжном русском языке наряду со словом число имело хождение существительное чисмя , а также прилагательное чисменый . В ХVI веке появился глагол числити - «считать».
Во второй половине ХV века в европейских странах получили распространение специальные знаки, обозначающие числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Их изобрели индийцы, а в Европу они попали благодаря арабам, поэтому и получили название арабские цифры .
В нашей стране арабские цифры появились в Петровскую эпоху. В то же время в русский язык вошло слово цифра . Арабское по происхождению, оно тоже пришло к нам из европейских языков. У арабов первоначальное значение слова цифра - это нуль, пустое место. Именно в этом значении существительное цифра вошло во многие европейские языки, в том числе в русский. С середины ХVIII века слово цифра приобрело новое значение - знак числа.
Совокупность цифр в русском языке называлась цифирь (в старой орфографии цыфирь). Дети, изучавшие счёт, говорили: учу цифирь , пишу цифирь . (Вспомните учителя по фамилии Цыфиркин из комедии Дениса Ивановича Фонвизина «Недоросль», который обучал нерадивого Митрофанушку цифири , то есть арифметике.) При Петре I в России открыли цифирные школы - начальные государственные общеобразовательные учебные заведения для мальчиков. В них кроме других дисциплин детям преподавали цифирную науку - арифметику, математику.
Итак, слова число и цифра различаются и по значению и по происхождению. Число - единица счёта, выражающая количество (один дом, два дома, три дома и т.д.). Цифра - знак (символ), обозначающий значение числа. Для записи чисел мы используем арабские цифры - 1, 2, 3… 9, 0, а в некоторых случаях и римские - I, II, III, IV, V и т.д.
В наши дни слова число и цифра употребляются и в других значениях. Например, когда мы спрашиваем «Какое сегодня число?», то имеем в виду день месяца. Сочетания «в том числе », «из числа кого-нибудь», «в числе кого-то» обозначают состав, совокупность людей или предметов. А если мы доказываем что-то с цифрами в руках , то обязательно используем числовые показатели. Словом цифра называют также денежную сумму (цифра дохода, цифра гонорара ).
В разговорной речи слова число и цифра часто заменяют друг друга. Например, числом мы называем не только величину, но и знак, который её выражает. Об очень больших в числовом отношении величинах говорят астрономические числа или астрономические цифры .
Слово количество появилось в русском языке в XI веке. Оно пришло из старославянского языка и образовано от слова колико - «сколько». Существительное количество употребляется в применении ко всему, что поддаётся счёту и измерению. Это могут быть люди или предметы (количество гостей, количество книг ), а также количество вещества, которое мы не считаем, а измеряем (количество воды, количество песка ).
Доктор филологических наук Наталия Черникова
http://www.nkj.ru/archive/articles/17798/
