Плоская волна. Сферические и плоские волны. Отрывок, характеризующий Плоская волна

Плоской волной называется волна с плоским фронтом. При этом лучи параллельные.

Плоская волна возбуждается поблизости от колеблющейся плоскости или если рассматривается небольшой участок волнового фронта точечного излучателя. Площадь этого участка может быть тем больше, чем дальше он находится от излучателя.

Лучи, охватывающие участок плоскости рассматриваемого волнового фронта, образуют «трубу». Амплитуда звукового давления в плоской волне не уменьшается при удалении от источника, так как не происходит растекание энергии за пределы стенок этой трубы. На практике это соответствует остронаправленному излучению, например, излучению электростатических панелей большой площади, рупорных излучателей.

Сигналы в различных точках луча плоской волны отличаются фазой колебаний. Если звуковое давление на некотором участке плоского волнового фронта синусоидальное, то его можно представить в экспоненциальном виде р зв = р тзв - exp(icot). На расстоянии г по лучу оно будет запаздывать от источника колебаний:

где г/с зв - время, за которое проходит волна от источника до точки на расстоянии г вдоль луча к = (о/ с зъ = 2ж/Д - волновое число, которое определяет фазовый сдвиг между сигналами во фронтах плоской волны, находящихся на расстоянии г.

Реальные звуковые волны более сложные, чем синусоидальные, однако выкладки, проводимые для синусоидальных волн, справедливы и для несинусоидальных сигналов, если не рассматривать частоту как константу, т.е. рассматривать сложный сигнал в частотной области. Это возможно до тех пор, пока процессы распространения волн остаются линейными.

Волна, фронт которой представляет собой сферу, называется сферической. Лучи при этом совпадают с радиусами сферы. Сферическая волна формируется в двух случаях.

• 1. Размеры источника много меньше длины волны, и расстояние до источника позволяет считать его точкой. Такой источник называется точечным.
• 2. Источник представляет собой пульсирующую сферу.

В обоих случаях предполагается, что переотражения волны отсутствуют, т.е. рассматривается только прямая волна. Чисто сферических волн в сфере интересов электроакустики не бывает, это такая же абстракция, как и плоская волна. В области средневысоких частот конфигурация и размеры источников не позволяют считать их ни точкой, ни сферой. А в области низких частот непосредственное влияние начинает оказывать, как минимум, пол. Единственная близкая к сферической волна формируется в заглушенной камере при малых габаритах излучателя. Но рассмотрение этой абстракции позволяет уяснить некоторые важные моменты распространения звуковых волн.

На больших расстояниях от излучателя сферическая волна вырождается в плоскую волну.

На расстоянии г от излучателя звуковое давление может быть

представлено в виде р зв = -^-ехр (/ (со? t - к? г)), где p-Jr - амплитуда

звукового давления на расстоянии 1 м от центра сферы. Уменьшение звукового давления с удалением от центра сферы связано с растеканием мощности на все большую площадь - 4пг 2 . Суммарная мощность, перетекающая через всю площадь волнового фронта, не меняется, поэтому мощность, приходящаяся на единицу площади, уменьшается пропорционально квадрату расстояния. А давление пропорционально корню квадратному из мощности, поэтому оно уменьшается пропорционально собственно расстоянию. Необходимость нормирования к давлению на некотором фиксированном расстоянии (1 мв данном случае) связана с тем же фактом зависимости давления от расстояния, только в обратную сторону - при неограниченном приближении к точечному излучателю звуковое давление (а также колебательная скорость и смещение молекул) неограниченно увеличивается.

Колебательную скорость молекул в сферической волне можно определить из уравнения движения среды:

Итого, колебательная скорость v m = ^ зв ^ + к г? фазовый

/V е зв кг

сдвиг относительно звукового давления ф = -arctgf ---] (рис. 9.1).

Упрощенно говоря, наличие фазового сдвига между звуковым давлением и колебательной скоростью связано с тем, что в ближней зоне с удалением от центра звуковое давление гораздо быстрее убывает, чем запаздывает.

Рис. 9.1. Зависимость фазового сдвига ф между звуковым давлением р и колебательной скоростью v от г/к (расстояние вдоль луча к длине волны)

На рис. 9.1 можно видеть две характерные зоны:

• 1) ближнюю г/Х« 1.
• 2) дальнюю г/Х» 1.

Сопротивление излучения сферы радиуса г

Это значит, что не вся мощность расходуется на излучение, часть запасается в некоем реактивном элементе и затем возвращается излучателю. Физически этому элементу можно сопоставить присоединенную массу среды, колеблющуюся с излучателем:

Легко видеть, что присоединенная масса среды уменьшается с ростом частоты.

На рис. 9.2 представлена частотная зависимость безразмерных коэффициентов вещественной и мнимой составляющих сопротивления излучения. Излучение эффективно, если Re(z(r)) > Im(z(r)). Для пульсирующей сферы это условие выполняется при кг > 1.

Изучение волн начнем с простейшего случая одномерного движения среды, когда все характеристики волны зависят только от одной декартовой координаты, напрймер координаты х. Поверхности, на которых фаза данной волны имеет одно и то же значение, называют фронтами волны. В этом случае фронты - плоскости

Поскольку давление меняется только в направлении, перпендикулярном к фронтам, скорость частиц в одномерном движении также направлена перпендикулярно к фронтам.

Для одномерного звукового поля можно найти общее решение волнового уравнения, принимающего в этом случае вид

Сделаем в этом уравнении замену переменных

Частные производные давления по и по х выразятся через производные по новым переменным следующим образом:

Повторяя дифференцирование, найдем

Подставляя полученные выражения в волновое уравнение, получим

Отсюда следует, что частная производная др/да должна быть независимой от переменной ее можно считать произвольной

функцией от а:

Интегрируя по а, найдем

где также произвольные функции своих аргументов. Возвращаясь к исходным переменным, найдем, что общее решение одномерного волнового уравнения - так называемое «даламберово решение» - имеет вид

Любая функция от или от представит собой бегущую плоскую волну: первая - волну, бегущую направо, вторая - волну, бегущую налево. Общее решение одномерной задачи сводится к сумме двух плоских волн произвольной формы, бегущих навстречу друг другу. Каждая из этих волн в отдельности перемещается в направлении положительной (или отрицательной) оси х как твердое тело со скоростью с.

Таким образом, введение понятия скорости для плоской бегущей волны в среде делается оправданным. Однако оно неоднозначно. Вводя это понятие, мы неявно предполагаем, что волна движется как твердое тело в направлении оси х. Но картина нисколько не изменится, если считать, что возмущение движется как твердое тело в направлении, составляющем с осью х угол со скоростью , как это доказано на рис. 17.1 для синусоидальной волны. Оба случая принципиально неразличимы, так как неразличимы состояния возмущения среды в любых точках одного и того же фронта волны. Поэтому пока мы будем считать данное определение направления и величины скорости волны условным. Ниже, в гл. III, мы увидим, что есть и принудительные основания принимать именно такое определение, помимо очевидного удобства.

Приведем сводку важнейших соотношений между характеристиками бегущей плоской волны. Пусть давление в волне задано в виде

где верхний знак соответствует волне, бегущей в положительном, а нижний - в отрицательном направлении оси х. Связь между давлением, скоростью и сжатием в бегущей волне имеет вид

Отсюда, пользуясь (14.2), найдем еще соотношения

Участки среды, в которых сжатие (а значит, и давление) положительны, движутся в сторону бега волны, а участки отрицательных давлений движутся навстречу бегу волны. Частицы, в которых звуковое давление равно нулю, имеют и скорость, равную нулю.

Рис. 17.1. Двухмерный профиль давлений в плоской синусоидальной волне в плоскости, проходящей через направление распространения волны. Перемещение волны в направлении а со скоростью с неотличимо от перемещения в направлении со скоростью .

Если всегда считать направление бега волны положительным, то в положительном направлении будут двигаться сжатые участки, а в отрицательном - разреженные участки среды, и в формулах (17.2) и (17.3) всегда можно брать знак плюс. Отношение скорости частиц к давлению в бегущей волне при таком выборе положительного направления в любой момент времени равно величине

Это отношение называют волновой проводимостью среды. Она не зависит от формы волны, а только от свойств среды.

Величину обратную волновой проводимости, называют волновым сопротивлением среды.

Все приведенные здесь формулы справедливы только в отсутствие дисперсии.

Полученная нами запись плоской бегущей волны связана с выбором оси х в направлении распространения волны. Напишем

уравнение плоской волны в векторной форме. Это позволит в дальнейшем получить выражение для плоской волны и в любой системе координат.

Для этого введем вектор перпендикулярный к фронтам волны и равный по модулю обратному значению скорости: Вектор будем называть вектором медленности волны. Обозначим радиус-вектор произвольной точки среды, проведенный из начала координат, через Очевидно, Следовательно, уравнение бегущей плоской волны можно записать в виде

Рис. 17.2. Вектор медленности плоской волны и его проекции на координатные оси и координатные плоскости. Жирные стрелки - вектор медленности исходной волны и векторы медленности следов волны на оси х и на плоскости

Последняя запись не связана с выбором системы координат. Если для плоской бегущей волны известна зависимость давления от времени в какой-либо точке и вектор медленности 5 известен, то уравнение волны получится путем замены в этой зависимости времени на бином (где радиус-вектор проведен из данной точки). Соотношение (17.2) между скоростью частиц и давлением в плоской волне можно записать, пользуясь вектором медленности, в векторной форме:

Пользуясь (17.5), можно записать выражение для волны в координатной форме при любом расположении координатных осей относительно направления распространения волны:

Здесь проекции вектора медленности на координатные оси; углы вектора медленности с координатными осями (рис. 17.2).

«След» плоской волны на какой-либо оси, например на оси можно рассматривать как одномерную волну, бегущую вдоль оси х. Аналогично «след» волны на какой-нибудь плоскости, например плоскости можно рассматривать как двухмерную волну, бегущую на плоскости Временная зависимость всех величин, характеризующих волну, во всех следах та же, что и в исходной

волне, но медленности следов другие: они равны проекциям вектора медленности исходной волны на соответственные оси или плоскости. Так, медленность следа на оси х есть , а медленность следа на плоскости есть .

Вектор медленности исходной плоской волны и медленности ее следов на осях и плоскостях координат находятся в тех же соотношениях друг с другом, как вектор скорости движущейся материальной точки и скорости ее проекций на оси и на плоскости. При волновом подходе к акустическим процессам вектор медленности - понятие, имеющее непосредственный физический смысл, точно так же, как в механике материальных точек имеет смысл вектор скорости. Понятие же вектора скорости для волн имеет не больший смысл, чем понятие вектора медленности для движущейся точки. Лишь для одномерных движений, когда скорость или медленность можно считать скалярами и принципиально нет вопроса о проекциях или следах рассматриваемого объекта, можно было бы на равных правах применять понятие скорости и медленности как для волн, так и для материальных точек. Применимо всегда для тех и для других объектов и понятие медленности или скорости по модулю. В этом смысле обычно и говорят о скорости волн, а не о медленности; но так говорят только в силу привычки: мы чаще обсуждаем движение тел, чем волн.

То обстоятельство, что для волн понятие вектора скорости не имеет смысла и на его место становится понятие вектора медленности волны, связано с принципиальным различием между механикой волн и механикой материальных точек, о котором мы уже говорили в § 1.

Для большинства задач, связанных с волнами, важно знать состояние колебаний различных точек среды в тот или иной момент времени. Состояния точек среды будут определены, если известны амплитуды и фазы их колебаний. Для поперечных волн необходимо еше знать характер поляризации. Для плоской линейно-поляризованной волны достаточно иметь выражение, позволяющее определить смещение с(х, t) из положения равновесия любой точки среды с координатой х, в любой момент времени t. Такое выражение называется уравнением волны.

Рис. 2.21.

Рассмотрим так называемую бегущую волну, т.е. волну с плоским волновым фронтом, распространяющуюся в каком-либо одном определенном направлении (например, вдоль оси х). Пусть частицы среды, непосредственно примыкающие к источнику плоских волн, совершают колебания по гармоническому закону; %(0, /) = = ЛсобсоГ (рис. 2.21). На рисунке 2.21, а через ^(0, t) обозначено смещение частиц среды, лежащих в перпендикулярной рисунку плоскости и имеющих в выбранной системе координат координату х = 0 в момент времени t. Начало отсчета времени выбрано так, чтобы начальная фаза колебаний, определенных через косинусоидальную функцию, была равна нулю. Ось х совместим с лучом, т.е. с направлением распространения колебаний. В этом случае фронт волны перпендикулярен оси х, так что частицы, лежащие в этой плоскости, будут совершать колебания в одной фазе. Сам фронт волны в данной среде перемещается вдоль оси х со скоростью и распространения волны в данной среде.

Найдем выражение?(х, t) смещения частиц среды, удаленных от источника на расстояние х. Это расстояние фронт волны проходит

за время Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости, удаленной от источника на расстояние х, будут отставать по времени на величину т от колебаний частиц, непосредственно примыкающих к источнику. Эти частицы (с координатой х) также будут совершать гармонические колебания. В отсутствие затухания амплитуда А колебаний (в случае плоской волны) не будет зависеть от координаты х, т.е.

Это и есть искомое уравнение тоской бегущей волны (не путать с волновым уравнением, рассматриваемым ниже!). Уравнение, как уже отмечалось, позволяет определить смещение % частицы среды с координатой х в момент времени t. Фаза колебаний зависит

от двух переменных: от координаты х частицы и времени t. В данный фиксированный момент времени фазы колебаний различных частиц будут, вообще говоря, различны, но можно выделить такие частицы, колебания которых будут происходить в одинаковой фазе (синфазно). Можно также считать, что разность фаз колебаний этих частиц равна 2пт (где т = 1, 2, 3,...). Кратчайшее расстояние между двумя частицами бегущей волны, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны X.

Найдем связь длины волны X с другими величинами, характеризующими распространение колебаний в среде. В соответствии с введенным определением длины волны можно написать

или после сокращений Так как , то

Это выражение позволяет дать иное определение длины волны: длина волны есть расстояние, на которое успевают распространиться колебания частиц среды за время, равное периоду колебаний.

Уравнение волны обнаруживает двойную периодичность: по координате и по времени: ^(х, t) = Z,(x + nk, t) = l,(x, t + mT) = Цх + пХ, ml), где пит - любые целые числа. Можно, например, фиксировать координаты частиц (положить х = const) и рассматривать смещение их как функцию времени. Или, наоборот, фиксировать момент времени (принять t = const) и рассматривать смещение частиц как функцию координат (мгновенное состояние смещений - мгновенная фотография волны). Так, находясь на пристани можно с помощью фотоаппарата в момент времени t сфотографировать морскую поверхность, но можно, бросив щепку в море (т.е. зафиксировав координату х), следить за ее колебаниями во времени. Оба эти случая приведены в виде графиков на рис. 2.21, а-в.

Уравнение волны (2.125) можно переписать иначе

Отношение обозначается к и называется волновым числом

Так как , то

Волновое число, таким образом, показывает, какое число длин волн укладывается в отрезке 2л единиц длины. Введя волновое число в уравнение волны, получим уравнение бегущей в положительном направлении Ох волны в наиболее часто употребляемом виде

Найдем выражение, связывающее разность фаз Дер колебаний двух частиц, принадлежащих разным волновым поверхностям Х и х 2 . Воспользовавшись уравнением волны (2.131), запишем:

Если обозначить или согласно (2.130)

Плоская бегущая волна, распространяющаяся в произвольном направлении, описывается в общем случае уравнением

где г -радиус-вектор, проведенный из начала координат к частице, лежащей на волновой поверхности; к - волновой вектор, равный по модулю волновому числу (2.130) и совпадающий по направлению с нормалью к волновой поверхности в направлении распространении волны.

Возможна также комплексная форма записи уравнения волны. Так, например, в случае плоской волны, распространяющейся вдоль оси х

а в общем случае плоской волны произвольного направления

Уравнение волны в любой из перечисленных форм записи может быть получено как решение дифференциального уравнения, называемого волновым уравнением. Если мы знаем решение этого уравнения в форме (2.128) или (2.135) - уравнение бегущей волны, то найти само волновое уравнение не составляет труда. Продифференцируем 4(х, t) = % из (2.135) дважды по координате и дважды времени и получим

выражая?, через полученные производные и сравнивая результаты, получим

Имея в виду соотношение (2.129), запишем

Это и есть волновое уравнение для одномерного случая.

В общем виде для?, = с(х, у, z, /) волновое уравнение в декартовых координатах выглядит так

или в более компактном виде:

где Д - дифференциальный оператор Лапласа

Фазовой скоростью называется скорость распространения точек волны, колеблющихся в одинаковой фазе. Иными словами - это скорость перемещения «гребня», «впадины», либо любой другой точки волны, фаза которой фиксирована. Как уже отмечалось ранее, фронт волны (а следовательно, и любая волновая поверхность) перемещается вдоль оси Ох со скоростью и. Следовательно, скорость распространения колебаний в среде совпадает со скоростью перемещения данной фазы колебаний. Поэтому скорость и, определяемую соотношением (2.129), т.е.

принято называть фазовой скоростью.

Тот же результат можно получить, найдя скорость точек среды, удовлетворяющих условию постоянства фазы со/ - fee = const. Отсюда находится зависимость координаты от времени(со/ - const) и скорость перемещения данной фазы

что совпадает с (2.142).

Плоская бегущая волна, распространяющаяся в отрицательном направлении оси Ох, описывается уравнением

Действительно, в этом случае фазовая скорость отрицательна

Фазовая скорость в данной среде может зависеть от частоты колебаний источника. Зависимость фазовой скорости от частоты называется дисперсией, а среды, в которых имеет место эта зависимость, называются диспергирующими средами. Не следует думать, однако, что выражение (2.142) и есть указанная зависимость. Дело в том, что в отсутствие дисперсии волновое число к прямо пропорционально

со и поэтому . Дисперсия имеет место лишь в том случае, когда со зависит от к нелинейно).

Бегущая плоская волна называется монохроматической (имеющей одну частоту), если колебания в источнике гармонические. Монохроматическим волнам отвечает уравнение вида (2.131).

Для монохроматической волны угловая частота со и амплитуда А не зависят от времени. Это значит, что монохроматическая волна безгранична в пространстве и бесконечна во времени, т.е. представляет собой идеализированную модель. Всякая реальная волна, как бы тщательно ни поддерживалось постоянство частоты и амплитуды, монохроматической не является. Реальная волна не длится бесконечно долго, а начинается и кончается в определенные моменты времени в определенном месте, и, следовательно, амплитуда такой волны есть функция времени и координаты этого места. Однако чем длиннее интервал времени, в течение которого поддерживаются постоянными амплитуда и частота колебаний, тем ближе к монохроматической данная волна. Часто в практике монохроматической волной называют достаточно большой отрезок волны, в пределах которого частота и амплитуда не изменяются, подобно тому, как изображают на рисунке отрезок синусоиды, и называют его синусоидой.

: такая волна в природе не существует, так как фронт плоской волны начинается в $-\backslash mathcal\{1\}$ и заканчивается в $+\backslash mathcal\{1\}$, чего, очевидно, быть не может. Кроме того, плоская волна переносила бы бесконечную мощность, и на создание плоской волны потребовалась бы бесконечная энергия. Волну со сложным (реальным) фронтом можно представить в виде спектра плоских волн с помощью преобразования Фурье по пространственным переменным.

Квазиплоская волна - волна, фронт которой близок к плоскому в ограниченной области. Если размеры области достаточно велики для рассматривамой задачи, то квазиплоскую волну можно приближённо считать плоской. Волну со сложным фронтом можно аппроксимировать набором локальных квазиплоских волн, векторы фазовых скоростей который нормальны реальному фронту в каждой его точке. Примерами источников квазиплоских электромагнитных волн являются лазер , зеркальная и линзовая антенны : распределение фазы электромагнитного поля в плоскости, параллельной апертуре (излучающему отверстию), близко к равномерному. По мере удаления от апертуры фронт волны принимает сложную форму.

Определение

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения , называемого волновым . Волновое уравнение для функции $A$ записывается в виде

$\backslash Delta\; A(\backslash vec\{r\},t)\; =\; \backslash frac\; \{1\}\; \{v^2\}\; \backslash ,\; \backslash frac\; \{\backslash partial^2\; A(\backslash vec\{r\},t)\}\; \{\backslash partial\; t^2\}$ где

• $\backslash Delta$ - оператор Лапласа ;
• $A(\backslash vec\{r\},t)$ - искомая функция;
• $r$ - радиус-вектор искомой точки;
• $v$ - скорость волны;
• $t$ - время.

Одномерный случай

$\backslash Delta\; W\_k\; =\; \backslash cfrac\; \{\backslash rho\}\; \{2\}\; \backslash left(\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; A\}\; \{\backslash partial\; t\}\; \backslash right)^2\; \backslash Delta\; V$ $\backslash Delta\; W\_p\; =\; \backslash cfrac\; \{E\}\; \{2\}\; \backslash left(\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; A\}\; \{\backslash partial\; x\}\; \backslash right)^2\; \backslash Delta\; V\; =\; \backslash cfrac\; \{\backslash rho\; v^2\}\; \{2\}\; \backslash left(\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; A\}\; \{\backslash partial\; x\}\; \backslash right)^2\; \backslash Delta\; V\; .$

Полная энергия это

$W\; =\; \backslash Delta\; W\_k\; +\; \backslash Delta\; W\_p\; =\; \backslash cfrac\{\backslash rho\}\{2\}\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; A\}\; \{\backslash partial\; t\}\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash cfrac\{\backslash partial\; A\}\{\backslash partial\; \{x\}\}\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; \backslash Delta\; V\; .$

Плотность энергии, соответственно, равна

$\backslash omega\; =\; \backslash cfrac\; \{W\}\; \{\backslash Delta\; V\}\; =\; \backslash cfrac\{\backslash rho\}\{2\}\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; A\}\; \{\backslash partial\; t\}\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash cfrac\; \{\backslash partial\; A\}\; \{\backslash partial\; \{x\}\}\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; =\; \backslash rho\; A^2\; \backslash omega^2\; \backslash sin^2\; \backslash left(\backslash omega\; t\; -\; k\; x\; +\; \backslash varphi\_0\; \backslash right)\; .$

Поляризация

Напишите отзыв о статье "Плоская волна"

Литература

• Савельев И.В. [Часть 2. Волны. Упругие волны.] // Курс общей физики / Под редакцией Гладнева Л.И., Михалина Н.А., Миртова Д.А.. - 3-е изд. - М .: Наука, 1988. - Т. 2. - С. 274-315. - 496 с. - 220 000 экз.

Примечания

См. также

Отрывок, характеризующий Плоская волна

– Жалко, жалко молодца; давай письмо.
Едва Ростов успел передать письмо и рассказать всё дело Денисова, как с лестницы застучали быстрые шаги со шпорами и генерал, отойдя от него, подвинулся к крыльцу. Господа свиты государя сбежали с лестницы и пошли к лошадям. Берейтор Эне, тот самый, который был в Аустерлице, подвел лошадь государя, и на лестнице послышался легкий скрип шагов, которые сейчас узнал Ростов. Забыв опасность быть узнанным, Ростов подвинулся с несколькими любопытными из жителей к самому крыльцу и опять, после двух лет, он увидал те же обожаемые им черты, то же лицо, тот же взгляд, ту же походку, то же соединение величия и кротости… И чувство восторга и любви к государю с прежнею силою воскресло в душе Ростова. Государь в Преображенском мундире, в белых лосинах и высоких ботфортах, с звездой, которую не знал Ростов (это была legion d"honneur) [звезда почетного легиона] вышел на крыльцо, держа шляпу под рукой и надевая перчатку. Он остановился, оглядываясь и всё освещая вокруг себя своим взглядом. Кое кому из генералов он сказал несколько слов. Он узнал тоже бывшего начальника дивизии Ростова, улыбнулся ему и подозвал его к себе.
Вся свита отступила, и Ростов видел, как генерал этот что то довольно долго говорил государю.
Государь сказал ему несколько слов и сделал шаг, чтобы подойти к лошади. Опять толпа свиты и толпа улицы, в которой был Ростов, придвинулись к государю. Остановившись у лошади и взявшись рукою за седло, государь обратился к кавалерийскому генералу и сказал громко, очевидно с желанием, чтобы все слышали его.
– Не могу, генерал, и потому не могу, что закон сильнее меня, – сказал государь и занес ногу в стремя. Генерал почтительно наклонил голову, государь сел и поехал галопом по улице. Ростов, не помня себя от восторга, с толпою побежал за ним.

На площади куда поехал государь, стояли лицом к лицу справа батальон преображенцев, слева батальон французской гвардии в медвежьих шапках.
В то время как государь подъезжал к одному флангу баталионов, сделавших на караул, к противоположному флангу подскакивала другая толпа всадников и впереди их Ростов узнал Наполеона. Это не мог быть никто другой. Он ехал галопом в маленькой шляпе, с Андреевской лентой через плечо, в раскрытом над белым камзолом синем мундире, на необыкновенно породистой арабской серой лошади, на малиновом, золотом шитом, чепраке. Подъехав к Александру, он приподнял шляпу и при этом движении кавалерийский глаз Ростова не мог не заметить, что Наполеон дурно и не твердо сидел на лошади. Батальоны закричали: Ура и Vive l"Empereur! [Да здравствует Император!] Наполеон что то сказал Александру. Оба императора слезли с лошадей и взяли друг друга за руки. На лице Наполеона была неприятно притворная улыбка. Александр с ласковым выражением что то говорил ему.
Ростов не спуская глаз, несмотря на топтание лошадьми французских жандармов, осаживавших толпу, следил за каждым движением императора Александра и Бонапарте. Его, как неожиданность, поразило то, что Александр держал себя как равный с Бонапарте, и что Бонапарте совершенно свободно, как будто эта близость с государем естественна и привычна ему, как равный, обращался с русским царем.
Александр и Наполеон с длинным хвостом свиты подошли к правому флангу Преображенского батальона, прямо на толпу, которая стояла тут. Толпа очутилась неожиданно так близко к императорам, что Ростову, стоявшему в передних рядах ее, стало страшно, как бы его не узнали.
– Sire, je vous demande la permission de donner la legion d"honneur au plus brave de vos soldats, [Государь, я прошу у вас позволенья дать орден Почетного легиона храбрейшему из ваших солдат,] – сказал резкий, точный голос, договаривающий каждую букву. Это говорил малый ростом Бонапарте, снизу прямо глядя в глаза Александру. Александр внимательно слушал то, что ему говорили, и наклонив голову, приятно улыбнулся.
– A celui qui s"est le plus vaillament conduit dans cette derieniere guerre, [Тому, кто храбрее всех показал себя во время войны,] – прибавил Наполеон, отчеканивая каждый слог, с возмутительным для Ростова спокойствием и уверенностью оглядывая ряды русских, вытянувшихся перед ним солдат, всё держащих на караул и неподвижно глядящих в лицо своего императора.
– Votre majeste me permettra t elle de demander l"avis du colonel? [Ваше Величество позволит ли мне спросить мнение полковника?] – сказал Александр и сделал несколько поспешных шагов к князю Козловскому, командиру батальона. Бонапарте стал между тем снимать перчатку с белой, маленькой руки и разорвав ее, бросил. Адъютант, сзади торопливо бросившись вперед, поднял ее.
– Кому дать? – не громко, по русски спросил император Александр у Козловского.
– Кому прикажете, ваше величество? – Государь недовольно поморщился и, оглянувшись, сказал:
– Да ведь надобно же отвечать ему.
Козловский с решительным видом оглянулся на ряды и в этом взгляде захватил и Ростова.
«Уж не меня ли?» подумал Ростов.
– Лазарев! – нахмурившись прокомандовал полковник; и первый по ранжиру солдат, Лазарев, бойко вышел вперед.
– Куда же ты? Тут стой! – зашептали голоса на Лазарева, не знавшего куда ему итти. Лазарев остановился, испуганно покосившись на полковника, и лицо его дрогнуло, как это бывает с солдатами, вызываемыми перед фронт.
Наполеон чуть поворотил голову назад и отвел назад свою маленькую пухлую ручку, как будто желая взять что то. Лица его свиты, догадавшись в ту же секунду в чем дело, засуетились, зашептались, передавая что то один другому, и паж, тот самый, которого вчера видел Ростов у Бориса, выбежал вперед и почтительно наклонившись над протянутой рукой и не заставив ее дожидаться ни одной секунды, вложил в нее орден на красной ленте. Наполеон, не глядя, сжал два пальца. Орден очутился между ними. Наполеон подошел к Лазареву, который, выкатывая глаза, упорно продолжал смотреть только на своего государя, и оглянулся на императора Александра, показывая этим, что то, что он делал теперь, он делал для своего союзника. Маленькая белая рука с орденом дотронулась до пуговицы солдата Лазарева. Как будто Наполеон знал, что для того, чтобы навсегда этот солдат был счастлив, награжден и отличен от всех в мире, нужно было только, чтобы его, Наполеонова рука, удостоила дотронуться до груди солдата. Наполеон только прило жил крест к груди Лазарева и, пустив руку, обратился к Александру, как будто он знал, что крест должен прилипнуть к груди Лазарева. Крест действительно прилип.

Волны, зависящие от одной пространственной координаты

Анимация

Описание

В плоской волне всем точкам среды, лежащим в любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, в каждый момент времени соответствуют одинаковые смещения и скорости частиц среды. Таким образом, все величины, характеризующие плоскую волну, являются функциями времени и только одной координаты, например, х , если ось Ох совпадает с направлением распространения волны.

Волновое уравнение для продольной плоской волны имеет вид:

д 2 j /дx 2 = (1/c 2 )д 2 j /дt 2 . (1)

Его общее решение выражается следующим образом:

j = f 1 (ct - x)+f 2 (ct + x) , (2)

где j - потенциал или другая величина, характеризующая волновое движение среды (смещение, скорость смещения и т.д.);

с - скорость распространения волны;

f 1 и f 2 - произвольные функции, причем первое слагаемое (2) описывает плоскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси Ох , а второе - в противоположном направлении.

Волновые поверхности или геометрические места точек среды, где в данный момент времени фаза волны имеет одно и то же значение, для ПВ представляют собой систему параллельных плоскостей (рис. 1).

Волновые поверхности плоской волны

Рис. 1

В однородной изотропной среде волновые поверхности плоской волны перпендикулярны к направлению распространения волны (направлению переноса энергии), называемому лучом.

Временные характеристики

Время инициации (log to от -10 до 1);

Время существования (log tc от -10 до 3);

Время деградации (log td от -10 до 1);

Время оптимального проявления (log tk от -3 до 1).

Диаграмма:

Технические реализации эффекта

Техническая реализация эффекта

Строго говоря, ни одна реальная волна не является плоской волной, т.к. распространяющаяся вдоль оси x плоская волна должна охватывать всю область пространства по координатам y и z от -Ґ до +Ґ . Однако во многих случаях можно указать ограниченный по y, z участок волны, на котором она практически совпадает с плоской волной. Прежде всего это возможно в однородной изотропной среде на достаточно больших расстояниях R от источника. Так, для гармонической плоской волны фаза во всех точках плоскости, перпендикулярной направлению ее распространения, одна и та же. Можно показать, что всякую гармоническую волну можно считать плоской волной на участке шириной r << (2R l )1/2 .

Применение эффекта

Некоторые волновые технологии являются наиболее эффективными именно в приближении плоских волн. В частности, показано, что при сейсмоакустических воздействиях (с целью повышения нефте- газоотдачи) на нефтяные и газовые пласты, представленные слоистыми геологическими структурами, взаимодействие прямых и переотраженных от границ слоев плоских волновых фронтов приводит возникновению стоячих волн, инициирующих постепенные перемещение и концентрацию углеводородных флюидов в пучностях стоячей волны (см. описание ФЭ «Стоячие волны»).